経験を活かしてステップアップするため、同業他社への転職を考えています。
現在勤めている会社から訴えられたり、罰則などが科せられることはあるのでしょうか？

就業規則や誓約書に「退職後○年間は同業他社に転職しないこと、また同業で起業しないこと」といった「競業避止の記載」がないか確認をしましょう。

こういった契約にサインをしている場合は、破った場合に退職金を支給されない、または減額されるケースもあるようです。
これは契約内容によって異なりますので、現在の勤務先、もしく前職での契約書をご確認ください。

ただ、就業規則や誓約書に記載があっても、同業への転職が完全に無理なわけではございません。
記載内容に合理性がないと判断された場合は、憲法により保障されている「職業選択の自由」により、就業規則や誓約書の内容が無効となる可能性もあります。

いずれにしても、トラブルに発展しないよう慎重に確認をしてから、転職活動を進めることをおすすめいたします。